＜問題＞

Nは2以上の整数とする。1枚の硬貨を続けてn回投げる。このとき、k回目(1≦k≦n)に表が出たらXk=1、裏が出たらXk=0として、X1,X2,…,Xnを定める。

Yn=ΣXk-1Xk(和はk=2からk=nまでとする)

とするとき、Ynが奇数である確率pnを求めよ。

＜解説＞

京都大学理系の問題らしく、簡単ではない。思考力と、勉強量の両方がないと、正解にたどりつかないだろう。なお、どちらかというと、勉強量よりも思考力が問われる問題。

Ynの値とXn+1の値がわかったとしても、Yn+1はわからないので、pnの漸化式は、すぐには立てられない。ここでは、Xnの値とともに、漸化式を立てる。

＜解答＞

以下のように定める。

an：Ynが奇数でXn=0の確率

bn：Ynが偶数でXn=0の確率

cn：Ynが奇数でXn=1