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東大理系・数学問1はごくありふれた問題。一見したところ、教科書の練習問題程度の感じがするが、実際に解いてみると、積分計算が難しいので、数3の練習問題に取り組んでいないと無理。東大理系を受験する生徒なら、たいていできたのではないかと思います。

解答方針
(1)は普通に微分して増減を調べればよい。θ＝π/4のときに最小値となることがわかる。
(2)は式の後半の積分をまともにするしかない。部分積分してlog(cos)をなくしたあと、1/cosの積分が現れるので、三角関数の積分に慣れていないとできない。東大に限らず上位大学理系を受験するならば、この程度の計算はできるようにしておきたい。