2022年大学入試共通テスト　数学１A　第4問

以下、累乗を^と書きます。
（解説）
　整数の問題に慣れていないと、何を聞かれてるいのか、分からないだろう。整数の問題に慣れていないと将来困る生徒が、どれだけいるのだろう。そう考えると、無用にひねくれた問題のように感じる。
　まず、この問題を解くときのヒントが「5^4=625を2^4で割ったときの余りは1に等しい」であることに、気づく必要がある。これを式で書くと625=16*39+1となる。そうすると、考え方自体は易しい。しかし掛け算が多くてたいへん。

（問題）
(1)
5^4=625を2^4で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式
(5^4)x-(2^4)y=1　　　　　�@
の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるのは
　　x=（ア） y=（イウ）
であることがわかる.
また�@の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
　　x=（エオ） y=（カキク）
である。

(2)
次に、625^2を5^4で割ったときの余りと、2^4で割ったときの余りについて考えてみよう。
まず
625^2＝5^(ケ)
であり、またm=（イウ）とすると
625^2＝(2^(ケ))(m^2)+(2^(コ))m+1
である。これらより、 625^2を5^5で割ったときの余りと、2^5で割ったときの余りがわかる。

(3)(2)の考察は、不定方程式
(5^5)x-(2^5)y=1　　　　　�A
の整数解を調べるために利用できる。
x,yを�Aの整数解とする。(5^5)xは5^5の倍数であり、2^5で割ったときの余りは1となる。よって、(2)により、(5^5)x -625^2は5^5でも2^5でも割り切れる。5^5と2^5は互いに素なので、(5^5)x-(625^2)は(5^5)・(2^5)の倍数である.
このことから,�Aの整数解のうち、ｘが3桁の正の整数で最小になるのは
x=(サシス)　　y=（セソタチツ）
であることがわかる。

（4）
11^4を2^4で割った時の余りは1に等しい。不定方程式
　(11^5)x-(2^5)y=1
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
　　x=（テト） y=（ナニヌネノ）
である。


(1)の解答
625=16*39+1　を考えると、�@式は　16*(39x-y)+x=1　となる。
このことから、（ア）=1 （イウ）=39
（エオ）=17 （カキク）=664

(2)の解答
（ケ）=8
　625=(2^4)m+1であるから
（コ）=5

(3)の解答
文章を読むと、要するにx-(5^3)が2^5の倍数であるということ。
一番小さい3桁の数は
(サシス)=125 （セソタチツ）=12207

(4)の解答
同じように考えて、x-(11^3)が2^5の倍数であるということ。一番小さい整数は
（テト）=19 （ナニヌネノ）=95624